(Геометрия в 8 классе)

Эльфира ШАРИПОВА,

учитель математики

Девятернинской

основной школы

имени Л.Айтуганова

Агрызского района

Аннотация

Данная методическая разработка представляет собой конспект урока открытия нового знания по геометрии в 8 классе по теме «Теорема Пифагора». Урок построен в рамках системно-деятельностного подхода и направлен на формирование у учащихся не только предметных знаний, но и метапредметных компетенций.

Цель урока: создать условия для открытия, понимания и первичного закрепления теоремы Пифагора.

Тип урока: урок получения новых знаний.

Планируемые результаты

Основные понятия и термины

Прямоугольный треугольник, катет, гипотенуза, теорема Пифагора.

Оборудование

Компьютер, проектор, интерактивная доска (обычная доска и мел), раздаточный материал (задачи), ножницы, клей, листы бумаги.

Ход урока

1. Организационный момент (1–2 мин.)

Приветствие обучающихся.

Мотивация: «Сегодня мы с вами познакомимся с одной из самых важных теорем – теоремой, которая носит имя древнегреческого математика философа Пифагора. Эту теорему также называют «теоремой невест» и «теоремой сотни быков». Давайте узнаем, в чём же её секрет!»

2. Актуализация опорных знаний (5 мин.)

Цель. Вспомнить основные элементы прямоугольного треугольника.

Фронтальная работа с классом:

На экране (или доске) изображены различные треугольники.

Вопросы:

1. Какой треугольник называется прямоугольным?
2. Какие названия носят стороны прямоугольного треугольника?
3. Назовите катеты и гипотенузу в предложенных треугольниках.
4. Какой угол является прямым?
5. Что больше: гипотенуза или катет? Почему?

Вывод: Учащиеся вспоминают, что гипотенуза лежит напротив прямого угла и является самой длинной стороной, а катеты образуют прямой угол.

3. Постановка учебной проблемы (3 мин.)

Цель: подвести учащихся к формулировке проблемы урока.

Задача

«Давайте немного пофантазируем. Представим – вы строитель. Вам необходимо надёжно закрепить опору, которая образует со стеной и землёй прямоугольный треугольник. Длина стены (первый катет) 3 метра, расстояние от стены до низа опоры (второй катет) 4 метра. Какой длины должна быть ваша опора(гипотенуза)?»

Учащиеся предлагают свои варианты решения проблемы и понимают, что для решения не хватает знаний: т. е. правила или формулы, связывающей стороны прямоугольного треугольника. Формулируется цель урока: найти зависимость между длинами сторон в прямоугольном треугольнике.

4. «Открытие» нового знания (15 мин.)

Цель: экспериментальным и логическим путём подойти к формулировке и доказательству теоремы.

Этап 1. Практическая работа (в парах)

Задание: на листе бумаги постройте прямоугольный треугольник с катетами a = 3 см, b = 4 см.

1. Постройте квадраты на всех трёх сторонах
2. Вырежьте все три квадрата
3. Разрежьте квадраты на катетах на части

Квадрат (на катете 3 см) – разрежьте по одной диагонали. Получится 2 одинаковых прямоугольных треугольника. Квадрат (на катете 4 см) – проведите обе диагонали. Получится 4 одинаковых прямоугольных треугольника. В центре останется маленький квадрат со стороной 1 см (если разрезы выполнены точно).

4. Соберите из этих частей большой квадрат
5. Сравните полученный квадрат с вырезанным квадратом на гипотенузе (Если разрезание выполнено аккуратно, сборка не вызывает затруднений. Данный способ соответствует классическому доказательству теоремы Пифагора через равносоставленность (китайское доказательство). Для наглядности на доске или в раздаточном материале можно заранее заготовить чертёж с линиями разреза.)

Вывод. Учащиеся эмпирически убеждаются, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе: a² + b² = c².

Этап 2. Формулировка теоремы
Учитель помогает дать строгую формулировку: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».

Этап 3. Знакомство с доказательством

Учитель показывает классическое доказательство (через достроение до квадрата) с помощью анимации на интерактивной доске или на плакате.

5. Первичное закрепление (7 мин.)

Цель: научиться применять теорему для решения простейших задач.

1. Устно:в прямоугольном треугольнике катеты равны 5 см и 12 см. Найдите гипотенузу. (Ответ: 13 см).
2. Письменно (на доске и в тетрадях):Решите задачу про строителя (3 м и 4 м). (Решение: c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, c = 5 м).
3. Самостоятельно (в тетрадях):гипотенуза равна 10 см, один из катетов 6 см. Найдите второй катет. (Решение: b² = 10² — 6² = 100 — 36 = 64, b = 8 см).
4. Формирование функциональной грамотности (трехуровневая задача) (8 мин.)

Тема: «Расчет материалов для строительства»

Уровень 1 (репродуктивный, предметный):

Лестница длиной 5 метров приставлена к стене так, что её нижний конец находится на расстоянии 3 метров от стены. На какой высоте находится верхний конец лестницы?

Решение: Используем теорему Пифагора. a² = c² — b² = 25 — 9 = 16. a = 4 метра.

Функциональный аспект: применение математической формулы для решения практической задачи.

Уровень 2 (логический, межпредметный):

Для устойчивости решено поставить подпорку к середине лестницы (из предыдущей задачи). Подпорка будет упираться в землю в точке, где находится нижний конец лестницы, и образовывать с землёй и лестницей прямоугольный треугольник. Лестница, стена и земля тоже образуют прямоугольный треугольник. Докажите, что эти два треугольника подобны. Какой длины должна быть подпорка?

Решение. Учащиеся должны увидеть общий угол и прямой угол, сделать вывод о подобии. Далее, через коэффициент подобия (1/2) определить, что подпорка, приставленная к середине лестницы, будет в 2 раза меньше самой лестницы, то есть 2,5 метра.

Функциональный аспект: комбинация знаний геометрии (теорема Пифагора, подобие треугольников) для анализа и оптимизации реальной конструкции.

Уровень 3 (прогностический, моделирующий):

Предложите план расчёта общей стоимости подпорки, если известно, что цена металлической трубы составляет 250 рублей за метр, а на крепёжные элементы требуется дополнительно 15 % от стоимости трубы. Опишите, какие ещё данные вам могут понадобиться для составления сметы.

Решение. Учащиеся используют ответ из уровня 2 (2.5 м). Стоимость трубы: 2.5 * 250 = 625 руб. Стоимость крепежа: 625 * 0.15 = 93.75 руб. Примерная общая стоимость: 625 + 93.75 ≈ 719 руб.

Дополнительные данные: стоимость работ по установке, налоги, доставка и т. д.

Функциональный аспект: перенос математического решения в реальную жизненную ситуацию, требующую финансовых расчётов, планирования бюджета и понимания ограничений модели.

7. Рефлексия и подведение итогов (3 мин.)

Вопросы для рефлексии:

1. Какую цель мы ставили в начале урока и достигли ли их?
2. Сформулируйте теорему Пифагора.
3. Где мы можем применять эту теорему в реальной жизни?
4. Что было самым интересным на уроке? Что вызвало затруднения?

Оценка работы класса и отдельных учащихся

8. Домашнее задание (2 мин.)

Обязательная часть: выучить формулировку и доказательство теоремы Пифагора. Решить задачи из учебника: № 483(а, в), 484(а, в).

Творческая часть (по желанию):

1. Найти другое доказательство теоремы Пифагора (например, доказательство индийского математика Бхаскары) и подготовить о нём краткое сообщение.
2. Составить и решить свою практическую задачу на применение теоремы Пифагора, похожую на задачу про лестницу.

Приложения:

• Раздаточный материал для практической работы.
• Презентация с анимацией доказательства теоремы.
• Карточки с трехуровневой задачей.