Наталья БИКМУХАМЕТОВА,

учитель математики

средней школы №167

г. Казани

Целевая аудитория: учителя математики, методисты, студенты педагогических направлений, учащиеся 9–11 классов.

• Цель презентации – сформировать у учащихся понимание базовых вероятностных моделей и навыков расчёта основных характеристик случайных величин, а также развить умение визуализировать и анализировать многоэтапные случайные эксперименты. Испытания Бернулли: моделирование серий независимых событий с двумя исходами – расчёт вероятности успеха в серии попыток (например, доля успешных продаж в n звонках, вероятность брака в партии изделий).
• Математическое ожидание: оценка среднего результата при многократном повторении сценария – применяется в страховании (расчёт премий), финансах (ожидаемая доходность), логистике (прогнозируемое время доставки).
• Дисперсия: количественная оценка риска/нестабильности – используется для анализа волатильности акций, разброса сроков выполнения задач, вариативности спроса.
• Дерево событий: визуализация многоэтапных процессов с учётом вероятностей – применяется при оценке рисков проектов, диагностике неисправностей (последовательные проверки), принятии решений в медицине (алгоритмы выбора терапии).

В публикации представлена презентация, посвящённая методическому разбору ключевых вероятностно-статистических тем школьного курса: испытания Бернулли, математическое ожидание, дисперсия и дерево событий (вероятностное дерево). Материал ориентирован на систематизацию теоретических сведений, визуализацию абстрактных понятий и отработку практико–ориентированных задач.

Актуальность темы обусловлена:

• включением вероятностно-статистической линии в ФГОС и школьную программу по математике;
• необходимостью подготовки учащихся к жизни в условиях неопределённости, анализа данных, оценки рисков и принятия обоснованных решений;
• ростом значимости статистической и вероятностной грамотности в современном обществе, науке, экономике и повседневной жизни;
• запросом на качественную подготовку к ОГЭ, ЕГЭ и дальнейшему обучению в вузах.

Особый акцент в презентации сделан на формировании функциональной грамотности. Через разбор испытаний Бернулли, вычисление математического ожидания и дисперсии, построение дерева событий учащиеся учатся:

• применять математические знания в реальных ситуациях;
• интерпретировать вероятностные модели и статистические показатели;
• оценивать средние ожидаемые результаты и степень разброса (риска);
• анализировать многошаговые случайные эксперименты;
• критически осмысливать информацию и делать выводы.

Это напрямую развивает математическую, информационную и финансовую грамотность, а также критическое мышление и умение работать с данными.

Презентация может быть использована на уроках математики, внеурочных и элективных занятиях, при подготовке к экзаменам, а также в системе повышения квалификации учителей.

Ключевые слова: вероятность и статистика, испытания Бернулли, математическое ожидание, дисперсия, дерево событий, функциональная грамотность, 9–11 классы, практико–ориентированное обучение.

Цели и задачи: 

– расширить представления учащихся о математике, показать широкие возможности математики (связи математики с физикой, литературой, историей, искусством и др.);

–    заинтересовать историей развития математики в годы ВО войны;

– способствовать развитию творческой деятельности учащихся, потребности к самообразованию, воспитывать культуру общения, развивать внимание, находчивость, умение работать в команде, элементы ораторского искусства;

–  развить интуицию и смекалку, эрудицию и владение методами математики;

– воспитать культуру математического мышления;

– формировать интерес к математике, любознательность и желание пополнять свои знания;

– развивать логическое мышление учащихся, умение применять свои знания в нестандартных ситуациях;

– воспитывать дух здорового соперничества и чувства солидарности;

– воспитание чувство патриотизма.

Оборудование: раздаточный материал, технические средства (мультимедиа, доска), песочные часы.

Ход предприятия

 Первый этап: «Домашнее задание».

Вступительное слово:

– В 2025 году мы отметили 80–летие Победы нашего народа в Великой Отечественной войне. В честь этого важного для нас события, мы погрузимся   в действительность, как математика и математики во время Великой Отечественной войны способствовали нашей Победе. Команды подготовили сообщение о математиках в годы войны. И по прочитанному тексту приготовили три вопроса   своим соперникам.

Критерии оценивания: 3 балла за сообщение (наглядность, актуальность, грамотность изложения материала) +3 балла при ответе на каждый вопрос соперников.  Максимальное количество баллов за 1 этап 6 баллов.

Второй этап. Функциональная грамотность.

Афоризм «Слушать многое, выбирать лучшее, и следовать ему; наблюдать многое и держать все в памяти это и есть способ постижения знаний». Конфуций, древний мыслитель, философ Китая, родился примерно в 551 году до н.э.

Команды получают задания на функциональную грамотность, решают. (Слайд)

За каждый верный ответ по 1 баллу. Итого 3 балла

Ответ:9

Третий этап – Геометрический. Фраза «Пусть не знающий геометрию не входит сюда». Платон, древнегреческий философ, математик, ученик Сократа, учитель Аристотеля, родился в 427 году до нашей эры.

Команды получают задания на построение сечения, нахождения периметра и площади. (3балла).

Дан тетраэдр АВСД. М–середина АВ. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно грани ВСД. Найти периметр и площадь сечения, если ВД=СД=10см, ВС=8см. (Р=14 см, S=2√21)

Четвертый этап – Интегрированный. Фраза «Услышав или увидев кое–что новое и любопытное захочешь услышать и увидеть продолжение». Сергей Тимофеевич Аксаков. Русский писатель, годы жизни 1791–1859.

1задание. Найти НОК (27; 138; 207) =1242.

Ответ: Историческая справка: 1242 год. Русские войска под командованием Александра Невского разгромили немецких рыцарей на Чудском озере.

2 задание. Найти у.

Ответ: 1944.Историческая справка: 25 августа 1944 года был казнён на гильотине в тюрьме Плетцензее Муса Джалиль, советский татарский поэт, журналист, военный корреспондент, патриот, Герой Советского Союза(посмертно).

3 задание. Вычислить: 4769,7537: 14,23 +527,81

Ответ: 863. Историческая справка: Год 863 –год создания Кириллом и Мефодием славянской азбуки «Кириллица».

За каждое правильно выполненное задание команда получает 1 балл

Пятый этап – Догонялки–угадалки. Фраза «Любое человеческое знание начинается с интуиции, переходит к понятиям и завершается идеями». Иммануил Кант. Немецкий философ, годы жизни 1724–1804. (5–10 вопросов).

Вопросы к 5 этапу игры «Математический калейдоскоп» (выборочно)

1. Сколько получится десятков, если пять десятков умножить на пять десятков?

(50*50=2500; 2500/10=250)

2. Какое число делится на все числа без остатка? (0)
3. Вычислите 36² – 2*36*16+16². (400)
4. На руках 10 пальцев. Сколько пальцев на 10 руках? (50)
5. У продавца в киоске конверты сложены в пачке по 100 штук. Как ему быстрее отсчитать 75 конвертов? (Отсчитать 25 штук)
6. 25² +2*25*15+15² (1600)
7. Некоторое число х удовлетворяет трем неравенствам. Найдите его.

2,11<x <2,5

2,4 <x <2,72

2,39<x <2,42 (2,41)

8. Сравните 41/61 и 411/610
9. Двадцать трехметровых бревен распилили на полуметровые поленья. Сколько распилов при этом сделали? (100)
10. Что не имеет длины, глубины, ширины, высоты, а можно измерить?

Ответ: Температура, время

11. Мужик пошел на базар и купил там лошадь за 50 рублей. Но вскоре он заметил, что лошади подорожали, и продал ее за 60 рублей. Потом он сообразил, что ехать ему не на чем, и купил ту же лошадь за 70 рублей. Затем он задумался, как бы не получить от жены нагоняй за такую дорогую покупку, и продал ее за 80 руб. Что он заработал в результате манипуляций?

Ответ: –50+60–70+80=20

12. Позавчера Пете было 17 лет. В следующем году ему исполнится 20 лет. Как такое может быть?

Ответ: если нынешний день 1 января, а День Рождения у Пети 31 декабря. Позавчера (30 декабря) ему было еще 17 лет, вчера (31 декабря) исполнилось 18 лет, в нынешнем году исполнится 19 лет, а в следующем 20.

13. Один джентльмен, показывая своему другу портрет, нарисованный по его заказу одним художником, сказал: «У меня нет ни сестер, ни братьев, но отец этого человека был сыном моего отца».

Ответ: на портрете изображен сын этого джентльмена.

14. В парке 8 скамеек. Три покрасили. Сколько скамеек стало в парке?

Ответ: Восемь.

15.Термометр показывает плюс 15 градусов. Сколько градусов покажут два таких термометра?

Ответ: 15 градусов.

16. Батон разрезали на три части. Сколько сделали разрезов?

Ответ: Два разреза.

17. Что легче 1 кг ваты или 1 кг железа?

Ответ: Одинаково.

18. Грузовик ехал в деревню. По дороге он встретил 4 легковые машины. Сколько машин ехало в деревню?

Ответ: Одна.

19. На подносе лежали 9 булочек. 9 девочек взяли по булочке. Но на подносе осталась одна булочка. Как такое получилось?

Последняя девочка взяла булочку вместе с подносом.

20. Васе 5 лет. А Ане 9 лет. Какая разница в возрасте будет между ними через три года?

Ответ: Четыре года (разница с возрастом не меняется).

21. В подъезд одновременно зашли два человека. У одного квартира на 3–м этаже, у другого – на 9–м. Во сколько раз первый доедет быстрее 2–го?

Ответ: В 4 раза, т.к.1–му надо преодолеть 2 промежутка между этажами, а 2–му – 8.

22. В пруду растет один лист лилии. Каждый день число листьев удваивается. На какой день пруд будет покрыт листьями лилии наполовину, если известно, что полностью он будет покрыт ими через 100 дней?

Ответ: Пруд будет покрыт листьями лилии наполовину на 99–й день. По условию число листьев каждый день удваивается, и если на 99–й день пруд покрыт листьями наполовину, то на следующий день и вторая половина пруда будет покрыта листьями лилии, т.е. полностью пруд покроется ими через 100 дней.

23. Вы находитесь в каюте стоящего на якоре океанского лайнера. В полночь вода была на 4 м ниже иллюминатора и поднималась на полметра в час. Если эта скорость удваивается каждый час, то за какое время вода достигнет иллюминатора. Ответ: Вода никогда не достигнет иллюминатора, потому что лайнер поднимается вместе с водой.
24. Из Москвы во Владивосток каждый день выходит поезд. Так же каждый день из Владивостока в Москву выходит поезд. Переезд длится 10 дней. Если вы выехали из Владивостока в Москву, то сколько поездов, идущих в обратном направлении, встретится вам во время поездки? Ответ: На первый взгляд может показаться, что во время поездки мы повстречаем десять поездов. Но это не так: мы встретим не только те десять поездов, которые вышли из Москвы после нашего отправления, но и те, которые к моменту нашего отъезда уже находились в пути. Значит, мы встретим не десять, а двадцать поездов.
25. Бутылка с пробкой стоит 1 р. 10 к. Бутылка дороже пробки на 1 р. Сколько стоит бутылка и сколько стоит пробка? Ответ: на первый взгляд может показаться, что бутылка стоит 1 р., а пробка 10 к., но тогда бутылка дороже пробки на 90 к., а не на 1 р., как по условию. На самом деле, бутылка стоит 1 р. 05 к., а пробка стоит 5 к.
26. Катя живёт на четвёртом этаже, а Оля – на втором. Поднимаясь на четвёртый этаж, Катя преодолевает 60 ступенек. Сколько ступенек надо пройти Оле, чтобы подняться на второй этаж. Ответ: на первый взгляд может показаться, что Оля проходит 30 ступенек – в два раза меньше, чем Катя, так как она живёт в два раза ниже её. На самом деле это не так. Когда Катя поднимается на четвёртый этаж, она преодолевает 3 лестничных пролёта между этажами. Значит между двумя этажами 20 ступенек: 60:3 = 20. Оля поднимается с первого этажа на второй, следовательно, она преодолевает 20 ступенек.
27. Каким образом из кружки, ковшика, кастрюли и любой другой посуды правильной цилиндрической формы, наполненной до краёв водой, отлить ровно половину, не используя никаких измерительных приборов? Ответ: Любая посуда правильной цилиндрической формы, если смотреть на неё сбоку, представляет собой прямоугольник. Как известно, диагональ прямоугольника делит его на две равные части. Точно так же цилиндр делится пополам эллипсом. Из наполненной водой посуды цилиндрической формы надо отливать воду до тех пор, пока поверхность воды с одной стороны не достигнет угла посуды, где её дно смыкается со стенкой, а с другой стороны края посуды, через который она выливается. В этом случае в посуде останется ровно половина воды.
28. Три курицы несут три яйца за три дня. Сколько яиц снесут 12 куриц за 12 дней?

Ответ: можно сходу ответить, что 12 куриц за 12 дней снесут 12 яиц. Однако это не так. Если три курицы за три дня несут три яйца, значит одна курица за те же три дня несёт одно яйцо. Следовательно, за 12 дней она снесёт: 12 : 3 = 4 яйца. Если же куриц будет 12, то за 12 дней они снесут: 12 · 4 = 48 яиц.

29. Назовите два числа, у которых количество цифр равно количеству букв, составляющих название каждого из этих чисел.

Ответ: Сто (100) и миллион (1000000)

30.. Половина от половины числа равна половине. Какое это число?

Это число 2. Половина этого числа равна 1, а половина от половины этого числа (т. е. единицы) равна 0,5, т. е. тоже половине.

31. Перед вами электронные часы. Сколько раз в сутки они будут показывать время так, что все ячейки на циферблате (часы, минуты, секунды) будут заполнены одной и той же цифрой?

Ответ: три раза: 00.00.00; 11.11.11; 22.22.22

32. У фрау и герр Майерс есть 4 дочери. У каждой дочери есть один брат. Сколько всего детей у Майерсов?

Ответ: Четыре дочери и один сын

6 этап. Подведение итогов.

Литература:

1. Т.Ф. Сергеева «Математика на каждый день». Тренажер. Функциональная грамотность
2. А.О. Давтян «Знание и невежество» Афоризмы великих.
3. Интернет–ресурсы