(Урок геометрии в 8 классе)

 Кристина ДАРДЫМОВА,

 учитель математики

лицея №146 “Ресурс”

г. Казани

Аннотация

Конспект урока повторения по теме «Многоугольники» предназначен для учащихся 8 класса. Урок направлен на систематизацию знаний об элементах и свойствах многоугольников и применение формулы суммы внутренних углов выпуклого многоугольника. Используются адаптированные элементы коорпоративных технологий: поочерёдные ответы в группе, взаимное обучение в парах и совместное обсуждение с индивидуальной ответственностью за ответ. Предусмотрены разноуровневые задания, анализ ошибок, самостоятельная работа и рефлексия.

Ключевые слова: геометрия, 8 класс, многоугольник, выпуклый многоугольник, внутренний угол, диагональ, сумма углов, повторение, парная работа, групповая работа.

Тип урока: повторение и систематизация изученного.
Продолжительность: 45 минут.
Формы работы: фронтальная, парная, групповая, индивидуальная.

Цель и организация урока

Цель: систематизировать знания о многоугольниках и совершенствовать умение применять их свойства при решении задач.

Задачи

Образовательные: повторить определения многоугольника, выпуклого многоугольника, вершины, стороны и диагонали; закрепить применение формулы S = (n − 2) · 180°; находить неизвестный угол и число сторон.

Развивающие: развивать логическое мышление, математическую речь, умение объяснять решение и находить ошибки в рассуждениях.

Воспитательные: формировать ответственность за собственный результат и результат совместной работы, уважительное отношение к мнению партнёра.

Планируемые результаты

Ученик называет элементы многоугольника, различает выпуклый и невыпуклый многоугольники, объясняет формулу суммы углов через разбиение на треугольники, решает типовые задачи и проверяет обоснованность ответа.

Оборудование: доска или проектор, линейки, тетради, таймер, карточки заданий, листы А4 для групп, карточки с номерами 1–4.

Организация взаимодействия

Класс работает в группах по четыре человека. В каждой группе учащиеся получают номера 1–4; пары составляют участники 1–2 и 3–4. При неполной группе учитель распределяет очередность так, чтобы каждый получил слово. Роли в паре меняются после каждой задачи.

Критерии успеха: правильно выбрать формулу, записать вычисления, объяснить результат и проверить, соответствует ли он условию задачи.

Распределение времени

Организация – 2 мин; актуализация – 6 мин; постановка цели – 2 мин; работа в парах — 10 мин; динамическая пауза – 1 мин; работа в группах – 10 мин; самостоятельная работа – 8 мин; итог и рефлексия – 4 мин; домашнее задание – 2 мин.

Ход урока

Организационный момент 2 минуты

Учитель. Сегодня повторим тему «Многоугольники». Наша задача – не только получить ответ, но и объяснить, почему решение верно. В работе с партнёром сначала выслушиваем, затем задаём вопрос или предлагаем исправление.

Учащиеся проверяют готовность, занимают места в группах, распределяют номера и пары.

Актуализация знаний 6 минут

Структура «Вспоминаем по кругу». Сначала каждый в течение 30 секунд записывает, что помнит о многоугольниках. Затем участники 1– 4 по очереди отвечают на свой вопрос. На ответ — до 30 секунд; после круга группа уточняет формулировки.

Участник 1. Что называют многоугольником? Назови его вершины и стороны на своём рисунке.

Участник 2. Какие вершины называют соседними? Что такое диагональ?

Участник 3. Какой многоугольник называют выпуклым? Нарисуй выпуклый и невыпуклый многоугольники.

Участник 4. Как найти сумму внутренних углов выпуклого n-угольника? Объясни формулу.

Ожидаемые ответы

Многоугольник – фигура, состоящая из простой замкнутой ломаной и ограниченной ею части плоскости. Соседние вершины – концы одной стороны. Диагональ соединяет две несоседние вершины. Выпуклый многоугольник лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону. Диагонали из одной вершины делят выпуклый n-угольник на n − 2 треугольника, поэтому S = (n − 2) · 180°.

Учитель обсуждает с классом спорные ответы. Для проверки предлагает нарисовать пятиугольник и показать три получившихся треугольника.

Постановка цели 2 минуты

Учитель. Ученик утверждает: «Сумма углов семиугольника равна 7 · 180°». Согласны ли вы? Чего он не учёл?

Ожидаемый ответ: нужно умножить на 7 − 2; из одной вершины получаются пять треугольников, сумма углов равна 900°.

Вместе формулируют цель: повторить свойства многоугольников и научиться уверенно применять их, объясняя и проверяя решение.

Парная работа 10 минут

Структура «Решаю и объясняю». На каждую задачу отводится около двух минут. В задачах 1 и 3 решает участник А, в задачах 2 и 4 – участник Б. Партнёр слушает объяснение, проверяет шаги и задаёт вопросы. Оба фиксируют итоговое решение. Последние две минуты – проверка по образцу и исправление ошибок.

1. Найдите сумму внутренних углов выпуклого восьмиугольника.
2. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна 1260°. Сколько у него сторон?
3. В выпуклом пятиугольнике четыре угла равны 100°, 110°, 120° и 90°. Найдите пятый угол.
4. Все внутренние углы выпуклого десятиугольника равны. Найдите один угол.

Вопросы партнёра: «Что известно?», «Какую формулу ты используешь?», «Почему здесь n − 2?», «Как проверить ответ?» При затруднении партнёр предлагает вспомнить формулу, но не выполняет всю задачу вместо решающего.

Решения для проверки

1. S = (8 − 2) · 180° = 1080°.
   2. (n − 2) · 180° = 1260°; n − 2 = 7; n = 9.
   3. S = 540°; x = 540° − (100° + 110° + 120° + 90°) = 120°.
   4. S = 1440°; α = 1440° : 10 = 144°.

Задание для завершивших раньше

У выпуклого многоугольника все внутренние углы равны 150°. Сколько у него сторон? Объясните, почему равенство углов само по себе ещё не означает равенство сторон.

Ответ: 150n = 180(n − 2); n = 12. Равенство сторон не следует из равенства углов; например, у прямоугольника все углы равны, а соседние стороны могут быть разными.

Динамическая пауза 1 минута

Учащиеся встают у своих мест, расправляют плечи, выполняют спокойные движения кистями и переводят взгляд с ближнего предмета на дальний. Учитель называет число сторон: 3, 4, 5; учащиеся устно называют количество треугольников в разбиении из одной вершины: 1, 2, 3.

Групповая работа 10 минут

Структура «Обсуждаем вместе — отвечает каждый». Все группы получают одинаковые задачи. Учитель предлагает сначала подумать и сделать записи самостоятельно — 1 минута; затем согласовать решения в группе — 5 минут. Каждый должен суметь объяснить оба решения. На проверку — 4 минуты: учитель называет номер отвечающего после обсуждения; для второй задачи выбирает другой номер.

Задача 1 Проверка чужого решения

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна 900°. Ученик записал: «900 : 180 = 5. Значит, у многоугольника пять сторон». Найдите ошибку, исправьте решение и предложите проверку.

Ответ: число 5 показывает количество треугольников в разбиении, а не число сторон. n − 2 = 5; n = 7. Проверка: (7 − 2) · 180° = 900°.

Задача 2 Углы шестиугольника

Пять внутренних углов выпуклого шестиугольника равны 110°, 120°, 130°, 140° и 100°. Найдите шестой угол. Может ли у выпуклого шестиугольника с теми же первыми четырьмя углами пятый угол равняться 20°? Обоснуйте.

Решение: сумма углов шестиугольника равна 720°. В первом случае x = 720° − 600° = 120°. Во втором случае x = 720° − (110° + 120° + 130° + 140° + 20°) = 200°. Это противоречит выпуклости: каждый внутренний угол выпуклого многоугольника меньше 180°.

Порядок обсуждения

Участники по очереди объясняют по одному шагу решения. Группа проверяет вычисления и следит, чтобы каждый понимал, почему найденное значение может быть недопустимым. Учащиеся оформляют общее решение на листе, каждый записывает ответ в тетрадь.

Поддержка: карточка с формулой S = (n − 2) · 180° и вопросами «Что означает n?», «Сколько треугольников получится?», «Каким должен быть угол выпуклого многоугольника?»

Учитель. Верное вычисление ещё нужно соотнести с условием. Если найденный угол равен 200°, можно ли принять ответ для выпуклого многоугольника?

Ожидаемый вывод: необходимо проверять не только арифметику, но и геометрический смысл результата.

Самостоятельная работа 8 минут

Первые 6 минут учащиеся работают без помощи партнёра; последние 2 минуты проверяют по ответам учителя. За каждую задачу — 1 балл: верный ход решения и ответ. Максимум — 3 балла. Ошибку исправляют другим цветом.

Вариант 1

1. Найдите сумму внутренних углов выпуклого девятиугольника.
   2. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна 1080°. Найдите число сторон.
   3. У выпуклого четырёхугольника три угла равны 75°, 95° и 110°. Найдите четвёртый угол.

Вариант 2

1. Найдите сумму внутренних углов выпуклого семиугольника.
   2. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна 1440°. Найдите число сторон.
   3. У выпуклого четырёхугольника три угла равны 80°, 100° и 105°. Найдите четвёртый угол.

Интерпретация: 3 балла — уверенное применение; 2 балла — требуется разобрать одну ошибку; 0–1 балл — необходима дополнительная отработка с опорой на рисунок и формулу. Результат используют для обратной связи, а не для оценки работы группы.

Итог и рефлексия 4 минуты

Учитель. Как найти сумму углов выпуклого многоугольника? Почему в формуле n − 2? Как проверить, что найденный угол соответствует условию? Что помогло в парной работе?

Каждый завершает две фразы: «Теперь я могу…» и «Мне ещё нужно потренироваться…». Учитель отмечает типичные затруднения и возвращается к цели урока.

Домашнее задание 2 минуты

Обязательно: 1) найдите сумму углов выпуклого одиннадцатиугольника; 2) найдите число сторон выпуклого многоугольника, если сумма его углов равна 1620°; 3) у выпуклого пятиугольника четыре угла равны 95°, 105°, 115° и 125°. Найдите пятый угол. По желанию: составьте задачу с ошибочным решением и объясните ошибку.