№ 160

(Внеурочное занятие по математике в VI классе)

Зульфия ЛОКТИОНОВА,

учитель математики I квалификационной категории средней школы №135 г. Казани

Вид урока: лабораторная работа с элементами исследования.

Тип урока: изучение нового.

Формы работы на уроке: практическая групповая работа, фронтальный опрос.

Оборудование: мультимедиа-проектор, компьютер; геометрические фигуры, листы Мебиуса, различной формы для каждого опыта; клей, ножницы, маркеры.

Цели урока:

–  расширить знания учащихся в области математики;

– развивать познавательную компетентность, логическое мышление, творческие способности учащихся и умения самостоятельно приобретать знания;

– способствовать формированию у учащихся желания и потребности обобщения изучаемых фактов;

– формировать навыки коллективной деятельности, прививать любовь к предмету, воспитывать уважительное отношение к выступающим; прививать чувство ответственности за собственные действия.

Задачи:

образовательные:

– познакомить учащихся с листом Мебиуса, элементами исследовательской работы;

– расширить знания учащихся в области экспериментальной математики;

воспитательные:

– умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие, воспитывать ответственность и аккуратность;

развивающие:

– умение обрабатывать информацию и ранжировать ее по указанным основаниям;

– представлять информацию, формировать коммуникативную компетенцию учащихся;

– выбирать способы решения задач в зависимости от конкретных условий;

– рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности.

Предварительная подготовка: работа над стенгазетой, учащиеся делятся на группы по 4 чел.

Ход занятия

I. Организационный момент

II. Постановка целей и задач

Учитель. Здравствуйте, ребята. Сегодня у нас с вами необычный урок. На каникулах вам было предложено нарисовать стенгазету. Каждый из вас выбрал свою тематику, и когда вы принесли свои газеты, многие заинтересовались работой Данила и Владимира. Эта газета состоит из необычных лент, так называемых лент Мебиуса. Что же необычного в этой ленте и что собой представляет лист Мебиуса? Вот об этом и почему его называют «математической неожиданностью» нам расскажут ребята и покажут ряд фокусов с листом Мебиуса.

III. Историческая справка

Учащиеся (показывают презентацию и рассказывают (Приложение 1, слайды 1 – 5 на фоне музыки).

Лист Мебиуса – символ математики,

Что служит высшей мудрости венцом…

Он полон неосознанной романтики:

В нем бесконечность свернута кольцом.

В нем – простота, и вместе с нею – сложность,

Что недоступна даже мудрецам:

Здесь на глазах преобразилась плоскость

В поверхность без начала и конца.

Здесь нет пределов, нет ограничений,

Стремись вперед и открывай миры,

Почувствуй силу новых ощущений,

Прими познанья высшего дары…

                                                   Н.Иванова

Данную поверхность открыл Лейпцигский профессор Август Фердинанд Мебиус. Лист Мебиуса относится к числу «математических неожиданностей». Открыть свой «лист» Мебиусу помогла служанка, сшившая однажды неправильно концы ленты.

Как бы то ни было, но в 1858 г. Мебиус (1790 – 1868), ученик К.Ф.Гаусса, астроном и геометр, послал в Парижскую академию наук работу, включавшую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы и, не дождавшись, опубликовал ее результаты.

Лист Мебиуса считается одним из символов современной математики, а момент его открытия стал началом рождения новой науки – топологии. В некотором смысле слово топология – это наука, изучающая непрерывность. Тополог интересуется свойствами «предметов», которые выдерживают деформации: сжатия и растяжения.

Одновременно с Мебиусом точно такой же необычный лист изобрел другой ученик Гаусса – Иоганн Себастьян Листинг, профессор Геттингемского университета. Свою работу он опубликовал на 3 года раньше, чем Мебиус – в 1862 г.

IV. Практическая работа

Учитель. Сначала возьмем полоску бумаги и склеим ее как обычно. Дальше сделаем модель листа Мебиуса. Возьмем бумажную полоску и соединим концы полоски, предварительно повернув один конец на 180°. (Учитель показывает, все ребята делают (Приложение 1, слайды 7 – 9.)

V. Техника безопасности

Учитель. При выполнении этой работы нам будут необходимы ножницы. Расскажите, пожалуйста, как нужно обращаться с ножницами?

Учащиеся.

– Ножницы должны лежать на столе в закрытом виде.

– Передавать ножницы нужно кольцами вперед.

– При работе ножницы должны лежать с правой стороны.

– Не использовать ножницы без разрешения учителя.

VI. Лабораторная работа

Учитель. Чтобы было проще проводить исследования, листы Мебиуса для каждого задания уже подготовлены.

Фокус №1

Задание. Склейте лист Мебиуса. Если начать проводить линию по листу Мебиуса с одной стороны, не отрывая карандаш от поверхности и не переходя через край, то какая часть листа Мебиуса окажется закрашенной?

Учащиеся (выдвигают свои предположения, проводят опыт и делают вывод). Лист Мебиуса – односторонняя поверхность. (Приложение 1, слайды 11 – 12) Поэтому лист Мебиуса относится к числу «математических неожиданностей».

Фокус №2

Задание.  Возьмите лист Мебиуса. А что случится, если разрезать вдоль посередине это кольцо по всей длине? Два кольца половинной ширины?

Учащиеся (выдвигают свои предположения, проводят опыт и делают вывод). Лента перекрученая в два раза –так называемая афганская лента. (Приложение 1, слайды 13 – 14)

Фокус №3

Задание. Разрезать лист Мебиуса не посредине, а отступая от края на треть ширины.

Вывод. Получается две ленты. Одна – тоненькая лента Мебиуса, другая – длинная афганская лента. (Приложение 1, слайды 15 – 16)

Фокус №4

Задание. Разрезать лист Мебиуса с двумя перекрутами.

Вывод. Получили два кольца с двумя перекрутами, сцепленные друг с другом. (Приложение 1, слайды 17 – 18)

Физкульминутка

Учитель. Вы очень хорошо потрудились, устали и я предлагаю немного отдохнуть.

Встаньте.

Руками, широкими взмахами показать кольцо.

Лист Мебиуса в виде цифры 8. (руками и туловищем)

8 ногами по очереди очертить на полу.

Перекручивания листа Мебиуса (повороты)

Вдох, выдох. Садимся.

VII. Практика

Учитель. Таких фокусов  по перекручиванию и разрезанию ленты Мебиуса можно провести очень много. Давайте посмотрим её применение. (Приложение 1, слайды 19 – 23)

Лист Мебиуса служил вдохновением  в архитектуре и скульптуре.

г. Минск. Скверик около Центральной научной библиотеки, украшение в виде ленты Мебиуса выполнено в Риге, в Москве, проект библиотеки в Казахстане. Изгибы музея образуют лист Мёбиуса, таким образом внутреннее пространство переходит во внешнее и обратно; подобным образом стены переходят в крышу, а крыша трансформируется обратно в стены. Естественный свет проникает во внутренние коридоры сквозь геометрические отверстия во внешней оболочке, создавая прекрасно освещённые пространства, идеальные для чтения.

Многие художники изображали лист Мебиуса в своих произведениях. Например, Макс Билл стремился выразить в произведениях идею вечного движения. А Лиза Рей «Корабль дураков в бесконечность».

Эшер был одним из художников, кто особенно любил лист Мебиуса и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных работ показывает муравьев, ползающих по поверхности листа Мёбиуса.

Другая интересная литография называется «Картинная галерея», в которой изменены одновременно и топология и логика пространства. Мы видим мальчика, который смотрит на картину, на которой нарисован приморский город с магазином на берегу, а в магазине – картинная галерея, а в галерее стоит мальчик, который смотрит на картину, на которой нарисован приморский город.

Таким увидел лист Мебиуса Е.И.Печерский (2001 г.)

Лист Мёбиуса вдохновлял даже ювелиров.

Существуют технические применения ленты Мебиуса. Подшипник в виде ленты Мебиуса для увеличения срока работы. Полоса ленточного конвейера выполняется в виде листа Мебиуса, что позволяет ему работать дольше, так как поверхность изнашивается равномерно. В системах записи на непрерывную пленку применяются ленты Мебиуса для удвоения времени записи. В картридже принтера красящая лента склеена как лист Мебиуса. Если у ременной передачи ремень сделать в виде листа Мёбиуса, то его поверхность будет изнашиваться вдвое медленнее, чем у обычного кольца.

Международный символ переработки представляет собой лист Мебиуса, символизируя бесконечность использования вещей.

Mobius PLAY – новая это игрушка-головоломка, которая скоро появится и у нас. Игрушка состоит из непрерывающихся колец Мебиуса и  двойного магнитного бегунка. Нужно  удерживать кольцо Мебиуса в одной руке, и при этом стараться передвигать магнитный бегунок по спирали другой рукой.

VIII. Подведение итогов

Учитель. Лист Мебиуса удивительная поверхность и притягивает к себе внимание не только математиков, но и людей искусства. Посмотрите, скульптуры и картины в основе которых лежит лист Мебиуса.

Математика не является отвлеченной наукой. Очень многие математические знания и факты связаны с природой. Посмотрите лист Мебиуса, созданный природой. Заметим, что свойство односторонности не исчезает у поверхности, если её гнуть, растягивать, сжимать, но не склеивать и не рвать. Свойства геометрических фигур, которые не меняются при таких преобразованиях, изучает топология. Это название ей дал Иоган Листинг. А начало этой современной науки положили исследования листа Мёбиуса.

Главная ценность листа Мёбиуса состоит в том, что он дал толчок новым математическим исследованиям.  Поэтому его считают символом современной математики и изображают на различных эмблемах и значках, как, например, на значке механико-математического факультета Московского университета.

IX. Домашнее задание

1. Показать родным эксперименты с листом Мебиуса.

2. Как завязать на шарфе узел, не выпуская из рук его концов?

3. Как жилет не снимая вывернуть на изнанку?

Резерв. Подумайте над вопросом: как склеить лист Мебиуса из квадратного листа? Ответ: сложить лист гармошкой.