ИНЖЕНЕРНАЯ МАТЕМАТИКА В 5 КЛАССЕ:

 практико-ориентированные ресчёты и первые шаги  в конструировании   

Светлана МОДИНА,

учитель математики

лицея №146 «Ресурс»

г.Казани

Аннотация. В статье описан опыт раннего введения элементов инженерного мышления на уроках математики в 5 классе. В статье рассмотрено проектирование упаковочной коробки заданной вместимости с минимальным расходом картона, а также отражено то, как перебор целочисленных размеров прямоугольного параллелепипеда, расчёт развёртки и сравнение схем раскроя переводят учащихся от вычисления по формуле к обоснованному конструкторскому решению. Также в работе приведён фрагмент сценария урока с дифференцированными заданиями для микрогрупп.

Ключевые слова: инженерное мышление; практико-ориентированная задача; прямоугольный параллелепипед; площадь поверхности; развёртка; оптимизация; бережливое производство; групповая работа.

Введение

Обновлённый ФГОС основного общего образования [1] ставит перед курсом математики задачу, которую трудно выполнить одними упражнениями на вычисление, так как ученик должен уметь применять изученное к ситуациям за пределами учебника. Федеральная образовательная программа [2] относит к содержанию 5 класса наглядную геометрию, включая куб и прямоугольный параллелепипед, их развёртки, объём и единицы его измерения. Концепция развития математического образования [3] прямо называет среди проблем школьной математики мотивационные и содержательные, связывает их с формальным характером обучения.

На практике тема «Объём прямоугольного параллелепипеда» в 5 классе чаще всего сводится к подстановке 3 чисел в формулу и исследование Г.С. Лариной показывает, что «в проанализированной выборке ситуационной значимостью обладали лишь 26 % задач, а новизной формулировки соответственно 12 %. Ребёнок решает «задачу про коробку», но ничего не проектирует»[4].

Далее разработка опирается на 3 положения, а именно идея прикладной направленности школьного курса математики в трактовке Н.А.Терешина [6]: приложения  служат средством осмысления теории. Также логико-психологический подход Л.М.Фридмана к учебной задаче [7] и задача рассматривается как система «условие, требование, связи между величинами». В инженерной постановке требование намеренно сформулировано открыто и перевод его в математический критерий становится отдельным учебным действием. Критерии практической задачи, которые выделены Г.С.Лариной [4]: ситуационная значимость, что подразумевает, что от решения зависит реальное действие, необходимость математического моделирования и новизна формулировки. Кейс с коробкой проектировался так, чтобы удовлетворять всем 3 критериям соответственно.

Структура урока повторяет упрощённый инженерный цикл, в том числе техническое задание, модель, расчёт, прототип, испытание, корректировка. Сквозная идея бережливого производства также формирует критерий, согласно чему, при фиксированном объёме прямоугольного параллелепипеда с измерениями a, b, c нужно сделать наименьшей площадь его поверхности.

Пятиклассник не владеет аппаратом, который позволил бы решить эту задачу аналитически, но при целочисленных размерах задача также решается полным перебором.

Практическая часть: фрагмент урока «Коробка для конструктора»

Так, урок применения знаний после изучения объёма прямоугольного параллелепипеда, сдвоенный урок на 90 минут или урок и практикум.

Оборудование включает на каждую микрогруппу  24 кубика с ребром 2 см, лист тонкого картона, линейка, ножницы, клей.

Микрогруппы: «Конструкторы», «Технологи», «Испытатели», «Экономисты» по 4–6 человек.

Этап 1. Техническое задание (5 мин).

Учитель: К нам обратилась мастерская, которая выпускает развивающие наборы. В наборе 24 одинаковых кубика с ребром 2 см. Нужна коробка, в которую они укладываются плотно, без пустот. Условие заказчика: картона должно уходить как можно меньше.

Ученик: А какой формы коробка?

Учитель: Форму выбираете вы. Известно только, что это прямоугольный параллелепипед.

Ученица: Тогда объём у всех вариантов одинаковый, 24 кубика.

Учитель: Верно, объём задан. Что же тогда может отличаться?

Ученик: Размеры. И сколько картона уйдёт на стенки.

На доске фиксируется техническое задание (единица объёма 1 кубик):

Этап 2. Моделирование и перебор (10 мин). Группы складывают из кубиков «кирпичи» разной формы и записывают размеры. Учитель требует вычислять площадь поверхности по формуле

Так проверяется понимание того, что противоположные грани попарно равны. Результаты сводятся в общую таблицу (табл. 1).

Таблица 1. Варианты коробки для 24 кубиков (1 кв. ед. = 2 · 2 = 4 см²)

Проверка лучшего варианта в сантиметрах:

.

На доске записывается гипотеза, согласно которой при одинаковом объёме меньше всего материала требует коробка, размеры которой ближе всего друг к другу. Учитель подчёркивает, что в 5 классе это гипотеза, подтверждённая перебором, а не доказанная теорема.

Этап 3. От развёртки к раскрою (группа «Технологи», 10 мин). Реальной коробке нужен клапан для склейки. Вариант А, классическая крестообразная развёртка, боковая полоса высотой 4 см, к её длинным граням примыкают дно и крышка 8 × 6 см, клапан 1 × 4 см.

Таким образом, в отходы уходит больше половины листа.

Вариант Б, коробка с клапанами, как у большинства транспортных коробов: дно и крышку образуют четыре клапана высотой в половину ширины коробки, а заготовка  сплошной прямоугольник:

«Экономисты» пересчитывают расход картона на партию из 1000 коробок, переводя квадратные сантиметры в квадратные метры:

Этап 4. Ребро жёсткости (группа «Испытатели», 10 мин). Полоску картона 2 × 20 см кладут плашмя на 2 книги и нагружают линейкой, полоска прогибается. Ту же полоску сгибают вдоль «уголком», она выдерживает нагрузку. Вывод формулирует сам класс, согласно которому жёсткость дала форма, а не дополнительный материал. Затем группа рассчитывает поперечную перегородку-вкладыш: прямоугольник 6 × 4 см и 2 клапана 1 × 4 см.

Перегородка делит коробку на две ячейки 4 × 6 × 4 см по 12 кубиков и придаёт стенкам жёсткость, но увеличивает расход картона:

Этап 5. Защита решений (5 мин). Каждая группа отчитывается по формуле: «Мы предлагаем… потому что… Расчёт показывает… Риск решения в том, что…».

Таблица 2. Дифференцированные задания для инженерных микрогрупп

Из опыта разработки следуют 5 методических выводов.

1. Инженерная постановка не требует нового теоретического материала и использует известные формулы, но меняет учебное действие: от «вычисления» к «выбора и обоснования».
2. Упорядоченный перебор вариантов служит пропедевтикой комбинаторики и задач на оптимизацию, к которым учащиеся вернутся в старших классах.
3. Этап раскроя отражает главный инженерный момент урока, так как площадь развёртки и расход листа оказываются разными величинами. Сокращать этот этап не следует.
4. Испытание ребра жёсткости связывает расчёт с материалом и создаёт естественный мост к урокам технологии.
5. Микрогруппы с разными «профессиями» позволяют дифференцировать сложность, каждая группа вносит свою часть общего решения.

Список литературы

1.Об утверждении федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования: приказ Министерства просвещения Российской Федерации от 31.05.2021 № 287 (с изм. и доп.): зарегистрирован в Минюсте России 05.07.2021 № 64101. – Доступ из справ.-правовой системы «КонсультантПлюс».

2.Об утверждении федеральной образовательной программы основного общего образования: приказ Министерства просвещения Российской Федерации от 18.05.2023 № 370: зарегистрирован в Минюсте России 12.07.2023 № 74223. –Доступ из справ.-правовой системы «КонсультантПлюс».

3.Об утверждении Концепции развития математического образования в Российской Федерации: распоряжение Правительства Российской Федерации от 24.12.2013 № 2506-р (ред. от 08.10.2020). – Доступ из справ.-правовой системы «КонсультантПлюс».

4.Ларина Г.С. Анализ практических задач по математике: теоретическая модель и опыт применения на уроках / Г.С.Ларина // Вопросы образования. – 2016. – № 3. – С. 151–168. – DOI: 10.17323/1814-9545-2016-3-151-168.

6.Математика: 5-й класс: базовый уровень: учебник: в 2 ч. / Н.Я. Виленкин, В.И.Жохов, А.С.Чесноков [и др.]. – 3-е изд., перераб. – Москва: Просвещение, 2023.

7.Терешин Н.А. Прикладная направленность школьного курса математики / Н. А. Терешин. – Москва: Просвещение, 1990. – 96 с.

8.Фридман Л.М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач / Л.М.Фрид