Валентина МИХАЙЛОВА,

учитель математики и информатики

Старомокшинской средней школы

имени В.Ф.Тарасова

   Аннотация. В статье рассматривается роль  математического моделирования в формировании исследовательских компетенций у учащихся средней школы.Описаны этапы построения математической модели.приведены доступные примеры из различных предметных областей, предложена математическая схема интеграции моделирования в учебный процесс.Статья адресована учителям математики, физики и информатики

         Ключевые слова: математическое моделирование, исследовательские компетенции, межпредметные связи, методика преподавания, проектная деятельность

Современные стандарты предъявляют высокие требования к формированию у школьников, умений применять знания в нестандартных ситуациях. Одно из ключевых  умений, закрепленных в ФГОС основного вообще образования, способность строить модели реальных процессов и  явлений.[1]

В логике Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) математическое моделирование приобретает особую ценность: оно позволяет реализовать принципы деятельностного подхода, развить универсальные учебные действия и показать учащимся прикладное значение математики – от повседневных ситуаций до сложных научных исследований.

Что такое математическая модель?

Математическая модель – это упрощённое описание реального объекта, процесса или явления с помощью математических средств; уравнений, функций, графиков, таблиц, алгоритмов, графов [2]. Модель не обязана отражать все детали оригинала: её цель – сохранить самые важные свойства и зависимости, чтобы можно было делать выводы и прогнозы.

Основные этапы математического моделирования

Процесс математического моделирования в школьной практике удобно представить в виде последовательности нескольких шагов[3]:

Постановка задачи и определение цели. Учитель помогает учащимся сформулировать вопросы, на которые нужно ответить с помощью модели. Как изменится высота полета мяча при увеличении угла броска? Сколько времени продлиться падение тела с заданной высоты?

Выделение существенных факторов и упрощение. Учащиеся учатся выделять существенные факты и отбрасывать второстепенные. Реальный мир сложен, поэтому в модели оставляют только то, что важно для поставленной цели. Например, при расчёте полёта мяча можно пренебречь сопротивлением воздуха, если точность не критична.

Формализация: запись модели на математическом языке. Реальная ситуация переводится на язык математики. Это могут быть уравнения, неравенства, функции, системы уравнений, графы и т. д.

Решение математической задачи. Модель исследуется: подставляются числовые значения, решаются уравнения, строятся графики, проводятся вычисления.

Интерпретация результатов. Результаты, полученные с помощью модели, сравниваются с реальными данными – экспериментальными наблюдениями или известными из справочников.

Проверка адекватности и уточнение модели. Если модель даёт неудовлетворительные результаты, в неё вводятся дополнительные факторы: учитывается сопротивление воздуха, добавляется трение, меняется вид зависимости.

Этапы могут повторяться итеративно, что само по себе является важным элементом исследовательского процесса.

Этот цикл особенно полезен в учебном процессе: он учит школьников видеть связь между задачей из жизни и её математической записью, а также критически оценивать полученные ответы.

Классификация математических моделей

Модели можно классифицировать по разным признакам:

По характеру зависимостей: линейные и нелинейные. Линейные модели проще анализировать, но многие реальные процессы нелинейны.

По типу переменных: дискретные (величины принимают отдельные значения) и непрерывные (величины меняются плавно).

По учёту случайности: детерминированные (результат однозначно определяется входными данными) и стохастические (учитывают случайные факторы).

По цели: описательные (объясняют, как устроена система), предсказательные (прогнозируют будущее поведение), оптимизационные (помогают найти наилучшее решение).

Для школьного курса особенно ценны простые детерминированные модели: они позволяют наглядно показать логику моделирования без излишней сложности.

Сегодня математическое моделирование тесно связано с компьютерными технологиями:

• электронные таблицы позволяют быстро просчитывать варианты и строить графики;
• языки программирования и специализированные среды дают возможность строить более сложные модели;
• визуализация результатов помогает лучше понять поведение системы.

Инструменты для моделирования на уроках

Графики и таблицы: Excel, Google Sheets.

Интерактивное моделирование: GeoGebra, PhET Simulations, Physion.

Программирование: Python (библиотеки NumPy, MatPlotLib), Scilab.

Специализированные пакеты: Mathcad, Mathematica, Maple.

Цифровые лаборатории: Vernier, Pasco (сравнение модели с реальными датчиками).

Даже на школьном уровне можно использовать эти инструменты: например, построить таблицу значений и график траектории полёта мяча, подобрать параметры модели и посмотреть, как меняется результат. В школе такие задачи помогают связать физику и математику, а также показать, как формулы работают на практике.

Включение элементов моделирования в уроки математики помогает развивать у учащихся:

• умение формулировать задачу и выделять главное;
• навыки перевода словесного описания на математический язык;
• способность проверять и интерпретировать результаты;
• понимание того, как математика применяется в реальной жизни.
• Интеграция в учебный процесс:

На уроках математики (5–9 классы).

Моделирование включается как элемент текстовых задач. Ученики переводят условия задачи в уравнения, анализируют полученные решения, проверяют их на соответствие реальной ситуации. На уроках в 6–7 классах можно начинать с простых моделей: расчёт стоимости покупок, планирование времени, задачи на движение. В старших классах – переходить к более сложным моделям: оптимизация, динамика популяций, простые экономические модели.

На уроках физики – это построение моделей механического движения, тепловых процессов, электрических цепей.  Учащиеся знакомятся с упрощающими предположениями и учатся оценивать их влияние на результат.

На уроках информатики  – это реализация моделей в электронных таблицах или на языке программирования. Учащиеся создают таблицы значений, строят графики, проводят серию экспериментов с разными параметрами.

Во внеурочной деятельности и проектной работе. Индивидуальные или групповые проекты, в которых учащиеся самостоятельно выбирают объект моделирования, собирают данные, строят модель и представляют результаты. «Модель броска в баскетбольную сетку», «Рост числа подписчиков в социальной сети», «Сколько людей поместиться  на стадионе при разной погоде?»

Пример 1. Дискретная модель: задача о маршрутах

Представим город как граф: перекрёстки – вершины, дороги – рёбра. Тогда задача поиска кратчайшего пути превращается в задачу теории графов. Такие модели применяются в навигаторах, логистике и даже в планировании школьных экскурсий.

Математическое моделирование – это не просто набор формул, а способ мышления, позволяющий структурировать знания и решать практические задачи. Для педагогов оно служит мостом между абстрактной математикой и реальными проблемами, а для школьников – возможностью увидеть прикладную ценность предмета и развить исследовательские навыки.

Список литературы

1. Федеральный государственный образовательный стандарт/ Минобрнауки России. –М.; Просвещение, 2010,– 48 стр.
2. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование; Идеи. Методы. Приёмы. – М.; Физматлит, 2005. – 320с.
3. Капица П.В. Математическое моделирование в школе методические аспекты//Математика в школе.  – 2018. – №4. – с.12–18