Фрактальная геометрия в школе?

Ольга ИВШИНА,

учитель математики высшей квалификационной категории гимназии №183 г. Казани

Математика – древнейшая наука. Большинству людей казалось, что геометрия в природе ограничивается такими простыми фигурами, как линия, круг, многоугольник, сфера и т.д. Но жизнь не стоит на месте, а значит, изменяются и расширяются способы познания окружающего нас мира. Надо ли учителю математики консервативно относиться к этому?

«Начала» (греч. Στοιχεῖα, лат. Elementa) – самый главный труд Евклида, написанный примерно в 300 г. до н.э. Он посвящён систематическому построению геометрии. «Начала» – вершина античной геометрии и античной математики вообще, итог её 300-летнего развития и основа для последующих исследований. Теорию древнегреческого математика все считали абсолютной истиной в применении к физическому миру в течение 2 тыс. лет. Но этого недостаточно для того, чтобы описать множество процессов, не поддающихся на тот момент объяснению. Многие ученые пытались найти ответы, среди них был и, как ни странно, сам Евклид. Его нежелание использовать пятый постулат (аксиому параллельных) следует хотя бы из того, что свои первые 28 предложений ученый доказывает, не прибегая к этому постулату.

После него это пытались сделать еще и логик и математик Дж. Саккери, математик К.Гаусс, но удалось это первому Н.И.Лобачевскому. Он в свое время поставил под сомнения пятый постулат о параллельных прямых и получил непротиворечивую новую неэвклидову геометрию, что дало огромный толчок в развитии науки и техники. Человечество, благодаря неэвклидовой геометрии смогло покорить космос.

И, тем не менее, слово «геометрия» ассоциируется у нас из с понятиями: треугольник, цилиндр, катет, биссектриса углов, круг, периметр и т.п. Дело в том, что все это – крайне узкий набор явлений окружающего мира. Дома похожи на параллелепипеды, но деревья, горы, береговая линия – непонятно с чем сравнивать. Таким образом, Евклидова геометрия описывает лишь малую часть окружающего нас мира.

Многие природные системы настолько сложны, что использование только знакомых объектов обычной геометрии для их моделирования представляется безнадежным. Такие задачи как: построить модель горного хребта или кроны дерева, модель системы кровообращения, состоящей из множества капилляров и сосудов, и доставляющей кровь к каждой клеточке человеческого тела, строение легких и почек, напоминающих по структуре деревья с ветвистой кроной — все эти и многие другие задачи неразрешимы в рамках евклидовой и неэвклидовой геометрий.

Как же быть со всем остальным миром, как описать очертания острова, форму облака, молнии…

Этот вопрос ставился учеными давно, но, поскольку ответа не находилось, записывали эти формы в «неупорядоченные», «неисследуемые». Значит, нужны еще новые и более безумные открытия в этой области. Но какие именно теории пришли на смену классической доктрине?

Глобальный перелом произошел только в 1960 – 1970 гг. когда французский математик Бенуа Мандельброт придумал и развил свою теорию фракталов. Это была новая, фрактальная геометрия, взявшая за объект исследования все то неровное, изломанное и шершавое из того, что нас окружает. Мандельброт нашел в сложных формах природы свой удивительный порядок.

Слово «фрактал» образовано от латинского fractus и в переводе означает «состоящий из фрагментов». Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 г. для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался.

Одним из основных свойств фракталов является самоподобие, в самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию обо всем фрактале.

Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: «Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому».

Доступнее всего понять фрактальный принцип позволяет класс геометрических фракталов. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. Обычно при построении этих фракталов поступают так:

– берется «затравка» – аксиома – набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал;

– далее к этой «затравке» применяют набор правил, который преобразует ее в какую-либо геометрическую фигуру;

– далее к каждой части этой фигуры применяют опять тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и если мы проведем (по крайней мере, в уме) бесконечное количество преобразований — получим геометрический фрактал.

Так, например, строится кривая Коха:

1) берем произвольный отрезок;

2) делим его на 3 равные части и среднюю заменяем двумя отрезками такой же длины (звеньями ломаной);

3) к каждому из 4х получившихся звеньев применяем 1) и 2) шаги алгоритма и т.д.

Фракталы этого класса самые наглядные, потому что в них сразу видна самоподобность при любых масштабах наблюдения. В двухмерном случае такие фракталы можно получить, задав некоторую ломаную, называемую генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры (а, точнее, при переходе к пределу) получается фрактальная кривая. При видимой сложности полученной кривой, её общий вид задается только формой генератора. Примерами таких кривых служат:

– кривая Пeано:

– кривая Минковского:

Фракталы – весьма удачное средство для исследования поставленных вопросов. Нередко то, что мы видим в природе, притягивает нас бесконечным повторением одного и того же узора, увеличенного или уменьшенного в несколько раз. Например, у дерева есть ветви. На этих ветвях есть ветки поменьше и т.д. Теоретически, элемент «разветвление» повторяется бесконечно много раз, становясь все меньше и меньше. То же самое можно заметить, разглядывая фотографию горного рельефа. Представьте, что изображение горной гряды немного приблизилось — вы снова увидите горы. Так проявляется характерное для фракталов свойство самоподобия.

Вот что об этом говорит «отец» Фрактальной геометрии Бенуа Мандельброт в книге «Фрактальная геометрия природы»: «Почему геометрию так часто называют «холодной» и «сухой»? Одна из причин – ее неспособность описать форму облака, горы, дерева или береговой линии. Облака не являются сферами, горы – конусами, береговые линии нельзя изобразить с помощью окружностей, кору деревьев не назовешь гладкой, а путь молнии – прямолинейным….

Рискнув ответить на вызов, я задумал и разработал новую геометрию Природы, а также нашел для нее применение во многих разнообразных областях. Новая геометрия способна описать многие из неправильных и фрагментированных форм в окружающем нас мире и породить вполне законченные теории, определив семейство фигур, которые я называю фракталами».

Но Мандельброт не единственный, кто замечал вокруг нас фракталы. Так во время Второй мировой войны А. Е. Босман, используя обычную чертёжную линейку, построил дерево Пифагора.

Фракталы широко применяются в различных областях науки и техники. Многое из того что нас окружает, можно описать как фрактал. В картографии – изучаются формы береговых линий и сетей русел рек. В биологии – анализируются строения кровеносной и нервной систем, изучении сердечного ритма, моделировании популяций.

При этом некоторые из древовидных фракталов применяются для моделирования не только растений и деревьев, но и для моделирования почек, кровеносной системы, бронхиального дерева.

Таким образом, появление фрактальной геометрии говорит о продолжающейся эволюции человека и расширении его способов познания мира. А это значит, что с ней желательно знакомиться еще за школьной партой. Фрактальная геометрия, возможно, поможет опровергнуть взгляд на математику как на сухую и неинтересную науку и станет дополнительным стимулом для учащихся в ее освоении.

На занятии ученикам можно предложить следующие задания для понимания принципа создания фрактала:

– ковер Серпинского: возьмите квадрат, разделите его на девять квадратов, средний нужно вырезать. То же сделаем и с остальными, меньшими квадратами. В конце концов, образуется плоская фрактальная сетка, не имеющая площади, но с бесконечными связями;

– фрактал Серпинского: возьмите треугольник. Проведите средние линии, образованный ими треугольник закрасьте контрастным цветом. Повторите эту же процедуру для трех образовавшихся треугольников кроме центрального и так несколько раз. (Если мы теперь возьмем любой из образовавшихся треугольников и увеличим его – получим точную копию целого. В данном случае мы имеем дело с полным самоподобием.)

Ребята, познакомившись с теорией фракталов, предлагают интересные способы их применения в будущем:

– создание робота, воспроизводящего себеподобную, но уменьшенную копию. Несмотря на то, что на данный момент существует такое понятие как микроробототехника, но что если речь пойдет о гораздо меньших размерах, которые будут позволять проводить сложнейшие операции без хирургического вмешательства, т.е. такие микророботы могут вводиться в организм как инъекция и проводить медицинские манипуляции под контролем определенной программы;

– так же, возможно, в будущем мы будем иметь дело с таким явлением как максимальное сжатие информации. Только представьте себе, сколько проблем с хранением будет решено! Новый вид архиватора — сжатие информации, устроенное по принципу фрактала: программа накладывает фрактальное условие на информацию и так до малых размеров, т.е. по аналогии с хранением информации в молекуле ДНК;

– фрактальное изображение можно использовать как психосоматическое средство при лечении гипертонии, тренажер для восстановления зрения, более быстрое восстановление спортсменов после тренировок;

– и, возможно, вообще все описание вселенной будет сведено к элементарным фракталам.