Эльвира ГАБДРАХМАНОВА, Наталья ХАНОВА,

учителя начальных классов I квалификационной категории средней школы № 47 г. Казани

Сегодня каждый учитель ищет наиболее эффективные пути усовершенствования образовательного процесса, повышения заинтересованности учащихся. Если осуществляемая ребенком на уроке деятельность для него не является значимой, если он скучает и равнодушен, то и проявить свои способности не может. В современном быстроменяющемся мире учитель нужен для того, чтобы создавать условия для творческого развития ребенка, научить его правильно строить свою деятельность. Учение – это большой труд, учением вырабатывается трудовой ритм, дисциплина труда.

Каждому человеку в повседневной жизни нет возможности обойтись без вычислений. В связи этим на уроках математики мы учим выполнять действия над числами, то есть считать. Делим, умножаем, складываем и вычитаем привычными для всех способами, которые изучаются в школе.

На одном из внеурочных занятий по математики мы показали, как можно умножить, например, число 23 на 11. Для этого нужно мысленно раздвинуть цифры 2 и 3, а на это место поставить цифру 5, то есть сумму цифр 2 и 3. Получилось число 253. Одному из учеников стало интересно, а есть ли еще какие-нибудь способы вычислений.

Поэтому мы поставили перед собой цель: найти и рассмотреть нестандартные способы умножения, не рассматриваемые в школьном курсе математики.

Те способы вычислений, которыми мы пользуемся сейчас, не всегда были так просты и удобны. В старину пользовались более громоздкими и медленными приемами. И если бы школьник XXI века мог перенестись на пять веков назад, он поразил бы наших предков быстротой и безошибочностью своих вычислений.

В книге В.Беллюстина «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики?» изложено 27 способов умножения, причем автор замечает: «весьма возможно, что есть и еще способы, скрытые в тайниках книгохранилищ, разбросанные в многочисленных, главным образом, рукописных сборниках».

Мы начали изучать и исследовать некоторые из указанных способов и выбрали наиболее интересные.

В России среди крестьян был распространен способ, который не требовал знания всей таблицы умножения. Здесь необходимо лишь умение умножать и делить числа на 2.

Напишем одно число слева, а другое – справа на одной строке. Левое число будем делить на 2, а правое – умножать на 2 и результаты записывать в столбик.

Однако, как поступить, если при этом приходится делить пополам нечётное число? В этом случае от нечётного числа откидываем единицу и делим остаток пополам, при этом к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечётных чисел левого столбца – сумма и будет искомым произведением.

Иными словами все строки с чётными левыми числами зачёркиваем; оставляем только с нечётными левыми числами, а затем суммируем
не зачёркнутые числа правого столбца.

Существует ещё один способ умножения, очень похожий на способ умножения русских крестьян.

Если один из множителей оканчивается на 5, то один из множителей делим на 2, а другой умножаем на 2. Например:

• 35 = 21 х 70 = 1470

43 х 15 = 21,5 х 30 = 645

Для того, чтобы умножить число на 5, надо это число разделить на 2 и к полученному результату приписать 0:

86 х 5 = 430

Если же число не делится на 2, то к неполному частному добавляем 5:

49 х 5 = 245

Рассмотрим Китайский (рисовальный) способ:

Пример: 12 × 321 = 3852

Рисуем первое число сверху вниз, слева на право: одна зелёная палочка; две оранжевых палочки. 12 нарисовали.

Рисуем второе число сверху вниз, слева на право: три голубых палочки; две красных; одну сиреневую.

Теперь простым карандашом по рисунку прогуляемся, точки пересечения чисел-палочек на части разделим. «Собирать» слева направо (против часовой стрелки) и получили 3852.

Индийский способ умножения был распространен в средние века на Востоке и Италии. Пусть нужно умножить 25х63. Надо начертить таблицу, в которой две клетки по длине и две – по ширине. Запишем одно число по длине таблицы, другое по ширине таблицы. В клетках – результаты умножения данных чисел, на их пересечении отделим десятки и единицы диагональю. Полученные цифры сложим по диагонали. Полученный результат можно прочитать по стрелке (вниз и вправо).

Пример 25х63 = 1575

Римляне были большие любители всевозможных вычислений на пальцах. Они умели производить при помощи пальцев некоторые действия. И сейчас еще потомки римлян, румыны и южные французы, в состоянии быстро и искусно проделывать на пальцах таблицу умножения.

Умножение для числа 9: 9·1, 9·2 … 9·10 – легче выветривается из памяти и труднее пересчитывается вручную методом сложения, однако именно для числа 9 умножение легко воспроизводится «на пальцах». Растопырьте пальцы на обеих руках и поверните руки ладонями от себя. Мысленно присвойте пальцам последовательно числа от 1 до 10, начиная с мизинца левой руки и заканчивая мизинцем правой руки (это изображено на рисунке).

Допустим, хотим умножить 9 на 6. Загибаем палец с номером, равным числу, на которое мы будем умножать девятку. В нашем примере нужно загнуть палец с номером 6. Количество пальцев слева от загнутого пальца показывает нам количество десятков в ответе, количество пальцев справа – количество единиц. Слева у нас 5 пальцев не загнуто, справа – 4 пальца. Таким образом, 9·6=54. Ниже на рисунке детально показан весь принцип «вычисления». «Палочки Непера» стали началом новой эпохи – «эпохи науки», которая пришла на смену ранее популярному торговому делу. Счетные палочки – это изобретение шотландского математика Джона Непера, который вошел в историю, благодаря изобретению логарифмов. С помощью первой вычислительной техники развитие арифметики сделало шаг вперед, а «палочки Непера» до сих пор считаются прообразом первой вычислительной техники, например, такой, как калькулятор.

Умножим числа 2191 и 272 с помощью палочек Непера.

Палочки, соответствующие значениям каждого разряда множимого, выкладываются в ряд так, чтобы цифры сверху каждой палочки составляли множимое.

Слева прикладывается палочка – указатель строк, по которой выбирают строки, соответствующие разрядам множителя.

Результат умножения 2191 на 2 – 4382.

Интересен новый способ умножения, о котором недавно появились сообщения. Изобретатель новой системы устного счёта кандидат философских наук В.Оконешников утверждает, что человек способен запоминать огромный запас информации, главное – как эту информацию расположить. По мнению самого учёного, наиболее выигрышной в этом отношении является девятеричная система – все данные просто располагают в девяти ячейках, расположенных, как кнопочки на калькуляторе.

Считать по такой таблице очень просто. К примеру, умножим число 15647 на 5. В части таблицы, соответствующей пятёрке, выбираем числа, соответствующие цифрам числа по порядку: единице, пятёрке, шестёрке, четвёрке и семёрке. Получаем: 05 25 30 20 35

Левую цифру (в нашем примере — ноль) оставляем без изменений, а следующие цифры складываем попарно: пятёрку с двойкой, пятёрку с тройкой, ноль с двойкой, ноль с тройкой. Последняя цифра также без изменений.

В итоге получаем: 078235. Число 78235 и есть результат умножения.                           Если же при сложении двух цифр получается число, превосходящее девять, то его первая цифра прибавляется к предыдущей цифре результата, а вторая пишется на «своё» место.

Из всех рассмотренных необычных способов счета детям более интересны показался Китайский (рисовальный) способ.

Самым простым показался способ «решетчатого» умножения. Заинтересовал и новый способ умножения, он позволяет в уме «ворочать» огромными числами. Научив учеников считать всеми представленными способами, дети пришли к выводу: что самые простые способы это те, которые мы изучаем в школе.