Применение информационно-коммуникативных технологий

при исследовании функций и их графиков

Резеда ЮСУПОВА,

учитель математики

 средней школы №9

г. Казани

Аннотация: важное место в школьном курсе алгебры уделяется изучению функций, которые имеют широкую область применения во многих сферах жизни человека, но мы редко задумываемся о значимости математических расчетов при построении функций и графиков. Функция является неотъемлемой частью нашей жизни и наук в целом, поэтому изучение функций требует серьезного математического подхода. Для детального изучения свойств функций учащимися старших классов создана обучающая программа в математическом пакете  Maple по исследованию функций одной переменной и построению их графиков.

Ключевые слова: функция и её свойства, исследование в компьютерной программе Maple.

Понятие функции уходит своими корнями в ту далёкую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. С развитием скотоводства и ремесла увеличилось количество известных людям зависимостей между величинами. Высокого уровня достигла математика в Древней Греции. Ученые решали задачи на построение и смотрели, при каких условиях данная задача имеет решение, изучали, сколько решений может иметь эта задача и т.д. Вопросами практической математики в Греции больше занимались астрономы. Они придумали, например, долготу и широту, с помощью которых определяли положение звёзд на небосводе. Путь к появлению понятия функции заложили в XVII веке французские ученые Франсуа Виет и Рене Декарт. Они разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание. Само слово «функция» (от латинского functio – совершение, выполнение) впервые было употреблено немецким математиком Лейбницем  в 1673г. в письме к Гюйгенсу, в печати ввел с 1694 года. Начиная с 1698 года, Лейбниц ввел также термины «переменная» и «константа». Идеи о создании системы координат были еще во времена Птолемея. В 1637 году Рене Декарт создал собственную систему координат, названную впоследствии в честь великого математика «декартовой». Несмотря на то, что с момента создания данной системы прошло уже несколько веков, она до сих пор широко используется в математике и даже в жизни.

Понятие «функция» применяется в различных областях наук. Например, в фазах звуковой волны;  при расчетах зависимости концентрации соли от массы раствора,  роста численности птиц и т.д. Оказывается, даже пословицы, можно изобразить с помощью графика функции. «Пересев хуже недосева» (когда урожайность зависит от плотности посева), «Каши маслом не испортишь» (вкусовые качества каши зависят от количества в ней масла), «Чем дальше в лес, тем больше дров» и т.д.

Функция – зависимость переменной y от переменной X, при которой каждое значение X соответствует единственному значению Y. График функции – множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяет функции.

Алгоритм исследования функций:

1. Область определения и множество значений функции
2. Четность или нечетность функции
3. Нули функции
4. Промежутки знакопостоянства функции
5. Монотонность функции
6. Ограничеснность функции
7. Наименьшее и наибольшее значения функции
8. Периодичность функции.

Maple – одна из самых мощных и интеллектуальных систем компьютерной алгебры. Этот пакет имеет богатые возможности графической визуализации решений, что способствует эффективному обучению математики от самых ее основ до вершин.

Программа исследования выглядит следующим образом:

Вводится функция:

> y:=(x)->(2*x-1)/((x-1)^2);

Найдем область определения, для чего приравняем знаменатель нулю. При этом получаем, что функция определена на всей числовой оси кроме точки x=1.

Нули. Найдем нули функции:

> y0:=solve(y(x)=0,x);

– имеется один нуль функции.

Четность. Проверим четность/нечетность функции:

> evalb(y(x)=y(-x));

> evalb(y(x)=-y(-x));

Функция является функцией общего вида, так как оба предложения

четности и нечетности оказались ложными (false).

Периодичность. Проверим функцию на периодичность

> solve(y(x)=y(x+T),T);

— получаем единственное решение для периода T, не зависящего от x : x= 0, т.е., функция непериодическая.

Промежутки знакопостоянства. Для определения промежутков знакопостоянства решим два неравенства y>0 и y<0 относительно x:

> solve(y(x)>0,x);

Таким образом на промежутках () и () функция y(x) положительна.

> solve(y(x)<0,x);

– на промежутке же () функция y(x) отрицательна.

График функции. Построим график функции:

> plot([0,y(x),[1,t,t=-2..3]],x=-2..3,

y=-2..3,color=[red,black,blue],

thickness=[2,2,2],linestyle=[1,1,7],

legend=[`y=0`,`y(x)`,`x=1`],

titlefont=[TIMES,BOLD,14],

title=`y(x)=(2x-1)/(x-1)^2`,

labelfont=[TIMES,BOLD,12],

labels=[x,`y(x)`],axes=BOXED);

Функция является неотъемлемой частью нашей жизни и наук в целом, поэтому изучение функций требует серьезного математического подхода. Данная обучающая программа на языке Maple по теории функции действительного переменного, исследованию функций одной переменной и построению их графиков способствует эффективной работе и пониманию данной темы школьниками.