Уравнения, приводимые к квадратным
Лариса ТАЙМАНОВА,
учитель математики МБОУ «Тетюшская СОШ №2» Тетюшского муниципального района Республики Татарстан
Цель урока:
Образовательная: закрепить и обобщить умение решать уравнения, приводимые к квадратным (биквадратные, возвратные и симметричные) способом подстановки, опираясь на предыдущий опыт учащихся по решению квадратных уравнений и определить, какую подстановку рациональнее выполнить.
Развивающая: способствовать развитию внимания, логического, критического и креативного мышления и умений анализировать, сравнивать и делать выводы.
Воспитывающая: развитие умения планировать работу, искать рациональные пути её выполнения, способности аргументированно отстаивать своё мнение.
Приёмы активизации познавательной деятельности: создание комфортных условий для успешной учебной деятельности; сочетание фронтальной работы, работы в парах, в группах и индивидуальной форм самостоятельной работы учащихся; использование Сингапурской технологии, как обучающая структура («Клок баддис», Куиз-куиз-трэйд», «Тик-тэк-тоу», «Сималтиниус релли тэйбл»).
Оборудование: 1) Интерактивная доска. 2) Презентация к уроку. 3) Карточки для работы с парами и с группой. 4) Номера столов. 5) Мэнэдж мэт на каждый стол.
План урока:
I. Сообщение темы и постановка цели урока.
II. Актуализация опорных знаний и умений:
1) Фронтальный опрос теории по теме «Квадратные уравнения». Обучающая структура «Клок баддис» - «друзья по часам (времени)», где учащиеся встречаются со своими одноклассниками в «отведенное время учителем» для эффективного взаимодействия.
2) Устная работа в парах. Обучающая структура «Куиз-куиз-трейд», где учащиеся проверяют и обучают друг друга по пройденному материалу, используя карточки с заданиями (на одной стороне) и ответами по теме (с другой стороны).
III. Систематизация знаний и умений по пройденному материалу.
1) Задания в таблицах.
2) Обучающая структура «Тик-тэк-тоу», используется для развития критического и креативного мышления, в которой ученики составляют предложения, используя три слово, расположенных в любом ряду по вертикали, горизонтали и диагонали.
3) Решение уравнений, приводимых к квадратным.
IV. Самостоятельная работа. Обучающая структура «Сималтиниус релли тэйбол» - «одновременный релли тейбол», где два участника одновременно выполняют письменно работу на отдельных листочках и по окончанию одновременно передают друг другу.
V. Проверка самостоятельной работы и обсуждение результатов.
VI. Домашнее задание.
VII. Итог урока.
Ход урока.
I. Сообщение темы и постановка цели урока. 
После проверки готовности класса к уроку сообщить цель урока - закрепить и обобщить умение решать уравнения, приводимые к квадратным (биквадратные, симметричные, возвратные) способом подстановки, опираясь на предыдущий опыт по решению квадратных уравнений и определить, какую подстановку рациональнее выполнить.
II. Актуализация опорных знаний и умений.
1. Фронтальный опрос теории по теме «Квадратные уравнения». Применяется обучающая структура «Клок баддис», где учащиеся встречаются со своими одноклассниками в «отведенное время учителем» для эффективного взаимодействия. Ученики (заранее) на перемене назначают встречу в 3, 6, 9, 12 часов своим друзьям и записывают на листочке.
Учитель:
1). Встречаются друзья в 9 часов. Первый отвечает тот, кто выше ростом.
Вопрос 1. Сформулировать определение квадратного уравнения. Приведите пример.
Вопрос 2. Какое уравнение называют неполным квадратным уравнением? Приведите пример.
2). Встречаются друзья в 12 часов. Первый отвечает тот, у которого короче волосы.
Вопрос 1. Какое уравнение называют приведённым квадратным уравнением? Приведите пример.
Вопрос 2. По какой формуле вычисляют дискриминант (D) квадратного уравнения?
3). Встречаются друзья в 3 часа. Первый отвечает тот, у кого количество букв больше в фамилии.
Вопрос 1. Сколько корней может иметь квадратное уравнение?
Вопрос 2. По какой формуле вычисляется корни квадратного уравнения, если D больше 0?
4). Встречаются друзья в 6 часов. Первый отвечает тот, у кого день рождение ближе к новому году.
Вопрос 1. Сформулировать теорему Виета.
Вопрос 2. Рассказать способы решения неполного квадратного уравнения.
2. Устная работа в парах. Применяется обучающая структура «Куиз-куиз-трейд», где учащихся проверяют и обучают друг друга по пройденному материалу, используя карточки с заданиями (на одной стороне) и ответами по теме (с другой стороны).
Учитель: Поднимите руку и найдите пару – ближайшую. Работаете в паре. Вы проверяете и обучаете друг друга по пройденному материалу, используя карточки с вопросами (заданиями) и ответам по теме «Квадратные уравнения». Ученик, у которого волосы темнее, спрашивает у другого. Потом меняются ролями. Ученики меняются карточками и благодарят друг друга. Повторяют шаги ещё один раз.   Например:     
Карточка №1
Решите уравнение:
 а) х2 = 16,
 б) 2 х2 = - 18,
 в) х2 + 2 х = 0,
 г) 5 х2 – 4 х – 1 = 0;   	Решение: 
а) х2 = 16, х1= 4, х2= - 4
б) 2 х2 = - 18, нет корней
 в) х2 + 2 х = 0, х (х+2)=0, х1=0,х2=-2
 г) 5 х2 – 4 х – 1 = 0; а +в +с=0,
 то х1=1, х2= с/а, х2=-1/5 = -0,2	
		
Карточка №2
Решите уравнение:
 а) х2 = 25,
 б) 5 х2 = - 45,
 в) х2 - 4 х = 0,
 г) -5 х2 + 2 х + 3 = 0	Решение: 
а) х2 = 25, х1= 5, х2= - 5
б) 5 х2 = - 45, нет корней
 в) х2 - 4 х = 0, х (х-4)=0, х1=0,х2=4
 г) - 5 х2 + 2 х + 3 = 0; а +в +с=0,
 то х1=1, х2= с/а, х2=-3/5 = -0,6	
III. Систематизация знаний и умений по пройденному материалу.
1) Задания в таблицах. Таблицы в виде слайдов на интерактивной доске.
Таблица №1. Какое уравнение лишнее?	
х2 – 13 х + 36 = 0  (1 )
х4 +7 х2 – 44 = 0   ( 2 )
х2 + 5 х – 6 = 0   (3 )	
Лишнее уравнение (2) – биквадратное уравнение, (1) и (3) уравнения – квадратные. Выписать уравнение (2) на доску и в тетрадь.
Таблица №2. Какое уравнение лишнее?	
(х + 3) (х +1) (х +5) (х +7) = -16  (4 )
(х – 4) (х +2) (х – 1) (х +8) = 0   ( 5 )
(х -4)2 (х + 2) - (х – 4)3 = 0   (6 )	
Уравнение (4) – лишнее решается заменой новой переменной. Уравнения (5) и (6) – решаются разложением на множители. Выписать уравнение (4) на доску и в тетрадь.
Таблица №3. О чём говорит этот блок уравнений?
          ? Особенное!	
4х4 +2х3 + 5х2 – х + 4 = 0  (7 )
2х4 - х3 + 5х2 – 2х - 1 = 0   ( 8 )
х4 + х3- 4х2 + х + 1 = 0   (9 )	
Это уравнения 4-ой степени. Уравнение (9) – особенное, это возвратное уравнение. Выписать уравнение (9) на доску и в тетрадь.                                                                           Обращается внимание учащихся на доску. Вопрос учителя: Какой блок образуют данные уравнения?
х4 +7 х2 – 44 = 0,   
                                     (х + 3) (х +1) (х +5) (х +7) = - 1 6,  
                                      х4 + х3- 4х2 + х + 1 = 0;        	
Ученик: Это уравнения, приводимые к квадратным.
Учитель: Расскажите алгоритм решения уравнений, приводимых к квадратным.
2) Применяется обучающая структура «Тик-тэк-тоу», используется для развития критического и креативного мышления, в которой ученики составляют предложения, используя три слово, расположенных в любом ряду по вертикали, горизонтали и диагонали.
Учитель: на столе 9 карточек и на каждой карточке одно слово. Перемешайте карточки и разложите в формате 3×3. Каждый член команды составляет 3 предложения, используя любые три слова, расположенных в любом ряду по вертикали, горизонтали и диагонали. Биквадратное, возвратное, уравнение, переменное, четвёртое, корень, степень, математика, решение. Например:
Биквадратное	Степень	Переменное	
Возвратное	Уравнение	Математика	
Корень	Четвёртое	Решение	
Прочитать по одному предложению из каждого стола (стол №1, №2 - №5).
3) Решение уравнений, приводимых к квадратным. Решить уравнения в тетрадь и объяснить решение №1 – устно, а №2 и №3 –вызвать учеников к доске. Все решения после показать на интерактивной доске.                                                 
1.  х4 +7 х2 – 44 = 0,   
                                     2. (х + 3) (х +1) (х +5) (х +7) = - 1 6,  
                                      3.  х4 + х3- 4х2 + х + 1 = 0;        	

Решение №1  
	Решение №2  
	Решение №3 
	
х4 +7 х2 – 44 = 0,   
пусть х2=у, тогда 
у2 +7у -44 = 0,
D=225, D>0, два корня,
у1 = - 11 или у2 = 4.
Обратная замена:
х2= -11 или х2= 4
нет корней или х1 = -2, х2 =2. Ответ: -2; 2.	(х + 3) (х +1) (х +5) (х +7) = - 1 6,  
(х + 3) (х +5) (х +1) (х +7) = - 1 6,
(х2+5х+3х+15) (х2+7х+х+7)= -16,
(х2+8х+15) (х2+8х+7)= -16,
Пусть х2+8х+7 = у, тогда
(у +8) у = -16,
У2 + 8у + 16 = 0, (у + 4)2 = 0, у = -4, обратная замена 
 х2+8х+7 = -4,
х2+8х+11 = 0,
D = 20, х1= -4 +√5, х2= -4 - √5;
Ответ: -4 +√5, -4 - √5;	х4 + х3- 4х2 + х + 1 = 0 │: х2, х≠0,
х2 + х – 4 + 1/х + 1/х2= 0,
(х2+ 1/х2) + (х +1/х) – 4 = 0,
(х +1/х)2= х2+2 + 1/х2,
(х +1/х)2 - 2= х2+ 1/х2,
(х+ 1/х)2 - 2 + (х +1/х) – 4 = 0,
(х+ 1/х)2 + (х +1/х) – 6 = 0,
Пусть х +1/х = у, тогда
у2 + у – 6 =0,
D = 25, у1 =-3, у2 = 2,обратная замена 
х +1/х = -3 или х +1/х = 2,
х2+1= -3х,     х2+1 = 2х,
х2+1 + 3х=0,     х2+1 - 2х=0,
D=5,           (х-1)2 = 0,
х1=(-3 + √5)/2,    х = 1,
х2 = (-3 - √5)/2,
Ответ: (-3 - √5)/2, (-3 + √5)/2,1;
    	
IV. Самостоятельная работа. Применяется обучающая структура «Сималтиниус релли тэйбол», где два участника одновременно выполняют письменно работу на отдельных листочках и по окончанию одновременно передают друг другу на проверку.
Учитель: Партнёры по лицу (№1 и №4, №2 и №3) получают карточки с заданиями вариант 1 и вариант 2. Выполняете работу письменно на листочках и через 7 минут одновременно передаёте друг другу. Проверяем работы. 
Вариант №1	Вариант №2	
Решить уравнение.
1)	3х2 + 2х – 1 = 0,
2)	х4 - 2х2 – 8 = 0;	Решить уравнение.
1)	2х2 + 3х + 1 = 0,
2)	- х4 + 2х2 + 8 = 0;	
    
Вариант №1.         Решение:	Вариант №2.        Решение:	
Решить уравнение.
1)	3х2 + 2х – 1 = 0,
a – b + c = 3 – 2 -1 = 0, то 
х1= -1, х2 = -с/а = 1/3; 
Ответ: -1; 1/3; 

2)	 х4 - 2х2 – 8 = 0, пусть х2 = у, тогда 
у2 – 2у – 8 = 0, D=36, х1=-2, х2=4,
обратная замена:
х2 = -2   или  х2 = 4
нет корней   х1= -2 х2 =2,
Ответ: -2; 2.	Решить уравнение.
1)	2х2 + 3х + 1 = 0,
a – b + c = 2 – 3 +1 = 0, то 
х1= -1, х2 = -с/а = -1/2; 
Ответ: -1; -1/2; 

3)	- х4 + 2х2 + 8 = 0, пусть х2 = у, тогда 
-у2 + 2у + 8 = 0 , D=36, х1=-2, х2=4,
обратная замена:
 х2 = -2   или   х2 = 4,
нет корней    х1= -2 х2 =2,
2)	Ответ: -2; 2.	
  
 V. Проверка самостоятельной работы и обсуждение результатов. Проверяем решение в-1 в-2 на интерактивной доске. Проверяют партнёры по лицу и выставляют отметку. Собираем листочки самостоятельных работ.                              
VI. Домашнее задание: №222 (б, г, е), 224 (б, г), 225 (б). Указать направления в решении домашнего задания.                                                                    
VII. Итог урока.
Вопросы: 1) Какие уравнения называются биквадратными, симметричными? 2) Расскажите алгоритм решения уравнений, приводимых к квадратным.